Question

【题目】在矩形中，为的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点重合，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交或它们的延长线)于点，设，下列四个结论：①；②； ③；④，正确的个数是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

过点G作GH⊥BC于H，可证四边形ABHG是矩形，可得AB=GH=1，AG=BH=1，∠AGH=90°=∠EGF，由“ASA”可证△AEG≌△HFG，可得AE=HF，GE=GF，∠AEG=∠BFG，即可判断②；由旋转的性质可得点F的位置不确定，可判断①③；由锐角三角函数可得GE==，可求出△GEF的面积，可判断④，即可求解．

解：如图，过点G作GH⊥BC于H，

∵在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，G为AD的中点，
∴∠A=∠B=90°，AG=DG=1=AB，
又∵GH⊥BC，
∴四边形ABHG是矩形，
∴AB=GH=1，AG=BH=1，∠AGH=90°=∠EGF，
∴∠AGE=∠FGH，
又∵∠A=∠GHF=90°，AG=GH=1，
∴△AEG≌△HFG（ASA）
∴AE=HF，GE=GF，∠AEG=∠BFG，故②正确，
∵将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点E、F，
∴点F的位置不确定，
∴HF不一定等于CF，
∴AE不一定等于CF，故①不正确，
若点F在线段CH上时，CH=HF+CF=AE+CF=1，
若点F在HC的延长线上时，CH=HF-CF=AE-CF=1，
故③不正确，
在Rt△AEG中，GE==，
∵GE=GF，∠EGF=90°，
∴S△EFG=EG2=×.
故④不正确，
故选：A．