Question

直线l：（3m+

5

2

n）x+（m-2n）y-15m+

9

2

n=0（m，n不同时为0）被以A（1，0）为圆心，7为半径的⊙A所截得的最短弦的长为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：先确定直线经过的顶点，再由定点与圆心的连线垂直的弦长最短确定所截得的最短弦的长．

解答：解：（3m+

5

2

n）x+（m-2n）y-15m+

9

2

n=0，
则m（3x+y-15）+

1

2

n（5x-4y+9）=0，
由

3x+y-15=0 5x-4y+9=0

，
解得：

x=3 y=6

，
从而可得直线恒过点（3，6），
它与点A（1，0）的距离为

12+02

=1，
所以最短弦的长为2

72-12

=8

3

．
故答案为：8

3

．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了垂径定理、勾股定理及两点间的距离，解答本题的关键是掌握：定点与圆心的连线垂直的弦长最短，比较抽象．