Question

14．阅读理解：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，∠A所相邻的边AC记为b，叫做∠A邻边，新定义：tan∠A=$\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}$=$\frac{a}{b}$
①在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，AB=4，则tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan60°=$\sqrt{3}$；
②在等腰直角三角形中，则tan45°=1
③运用新知：喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图2，河对岸有一码头A，小伟在河岸B处测得
∠ABD=45°，沿河岸行走300米后到达C处，在C处测得∠ACD=30°，求河宽AD．

Answer 1

分析 ①根据新定义：tan∠A=$\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}$=$\frac{a}{b}$即可求解；
②画出等腰直角三角形ABC，∠C=90°，a=b，根据新定义：tan∠A=$\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}$=$\frac{a}{b}$即可求出tan45°的值；
③由图2可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，以及∠ACD=30°，设AD=x，则有BD=x，CD=$\sqrt{3}$x，根据BD+CD=300得出方程x+$\sqrt{3}$x=300，求出即可．

解答 解：①如图1．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠A=30°，
∴tan30°=tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
tan60°=tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；

②如右图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，
则∠A=∠B=45°，
所以tan45°=tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=1；

③由图2可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，∠ACD=30°．
在Rt△ABD中，BD=AD．
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{3}$AD．
设AD=x，则有BD=x，CD=$\sqrt{3}$x．
依题意，得BD+CD=300，
即x+$\sqrt{3}$x=300，
（1+$\sqrt{3}$）x=300，
解得x=150$\sqrt{3}$-150（米）．
答：河宽AD为（150$\sqrt{3}$-150）米．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$；1．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．正确理解新定义：tan∠A=$\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}$=$\frac{a}{b}$是解决本题的关键．