Question

已知矩形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x²-px+p+3=0的两个实数根，则此矩形面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,根的判别式

专题：

分析：根据矩形性质求出AC=BD，根据根的判别式求出P，求出AC、BD的值，根据完全平方公式得出S≤

1

2

AC×BD，代入求出即可．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x²-px+p+3=0的两个实数根，
∴△=p²-4×1×（p+3）=0，
解得：p₁=6，p₂=-2（不符合题意，舍去），
则方程为x²-6x+9=0，
即AC=BD=3，
由勾股定理得：AB²+BC²=AC²=9，
∵S=

1

2

AC×BD，
∴S≤

1

2

AC×BD=

9

2

，
故答案为：

9

2

．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出S≤

1

2

AC×BD．