Question

4．如图，正方形ABCD顶点A，D在⊙O上，边BC经过⊙O上一定P，且PF平分∠AFC，边 AB，CD分别与⊙O相交于点E、F，连接EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=2，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）证明：连接OP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC，
∵PF平分∠AFC，
∴∠AFP=∠PFC，
∵OP=OF，
∴∠AFP=∠OPF，
∴∠PFC=∠OPF，
∴OP∥CD，
∴∠BPO=∠C=90°，
∴OP⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接AP，∵∠D=90°，∴AF是⊙O的直径，
∴∠AEF=∠APF=90°，
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∵OP∥CD，∴OP∥CD∥BA，
∴$\frac{AO}{AF}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BA，
∵∠APB+∠FPC=90°，∠PFC+∠FPC=90°，
∴∠APB=∠PFC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△APB∽△PFC，
∴$\frac{FC}{PB}=\frac{CP}{BA}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{FC}{CP}=\frac{PB}{BA}=\frac{1}{2}$，
∴PC=2FC=4．

解答 （1）证明：连接OP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC，
∵PF平分∠AFC，
∴∠AFP=∠PFC，
∵OP=OF，
∴∠AFP=∠OPF，
∴∠PFC=∠OPF，
∴OP∥CD，
∴∠BPO=∠C=90°，
∴OP⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接AP，∵∠D=90°，∴AF是⊙O的直径，
∴∠AEF=∠APF=90°，
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∵OP∥CD，∴OP∥CD∥BA，
∴$\frac{AO}{AF}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BA，
∵∠APB+∠FPC=90°，∠PFC+∠FPC=90°，
∴∠APB=∠PFC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△APB∽△PFC，
∴$\frac{FC}{PB}=\frac{CP}{BA}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{FC}{CP}=\frac{PB}{BA}=\frac{1}{2}$，
∴PC=2FC=4．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．