Question

如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°．求证：以MN，BN，AM为边的三角形是直角三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,旋转的性质

专题：证明题

分析：如解答图所示，将△BCN绕点C逆时针旋转90°至△ACN′，连接MN′；证明△CMN≌△CMN′，则有MN=MN′；在Rt△AMN′中，AN′=BN，MN′=MN，则以MN，BN，AM为边的三角形是直角三角形，结论得证．

解答：证明：将△BCN绕点C逆时针旋转90°至△ACN′，点B与点A重合，点N落在N′处，连接MN′，
则有AN′=BN，CN′=CN，∠1=∠3．
∵∠MCN=45°，∴∠1+∠2=45°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠MCN′=∠MCN．
在△MCN与△MCN′中，

CM=CM ∠MCN=∠MCN′ CN=CN′

∴△MCN≌△MCN′（SAS），
∴MN=MN′．
由旋转性质可知，∠CAN′=∠B=45°，
∴∠MAN′=∠CAN′+∠CAB=90°，
∴△AMN′为直角三角形．
∵AN′=BN，MN′=MN，
∴以MN，BN，AM为边的三角形是直角三角形．

点评：此题主要考查了旋转、全等三角形、等腰直角三角形等知识点．解题关键是作出辅助线，构造直角三角形．