Question

在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，则下列结论：
①AB+BD=CD；②S_△ABE：S_△AEC=AB：AC；③AC-AB=BE；④∠B=4∠DAE    
其中正确的是（　　）

• A、①②③④
• B、①③④
• C、②③④
• D、①②③

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：根据每一个题目的结果，作出适当的辅助线，进一步利用三角形全等，角平分线的性质，三角形的面积以及三角形的内角和逐一分析得出答案．

解答：解：①如图，

在BC上截取DF=BD，
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=90°
又AD=AD
∴△ABD≌△AFD
∴AB=AF
∠B=∠AFD=∠FAC+∠C=2∠C
∴AF=FC
∴AB+BD=FC+DF=CD．
②如图：

作EG⊥AB，EH⊥AC分别交AB、AC于点G、H，
∵AE平分∠BAC，
∴EG=EH
∴S△ABE：S△AEC=

1

2

AB•EG：（

1

2

AC•EH）=AB：AC．
③如图：

在AC上截取AM=AB，
∠BAE=∠EAM
AE=AE
∴△ABE≌△AME
∴BE=ME
∠AME=∠B=∠C+∠MEC=2∠C
∴∠MEC=∠C
∴MC=ME=BE=AC-AM=AC-AB．
④∠DAE=

1

2

∠BAC-∠BAD
=

1

2

（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）
=90°-

3

4

∠B-90°+∠B
=

1

4

∠B
∴∠B=4∠DAE．
综上所知①②③④都是正确的．
故选：A．

点评：此题综合考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点．