Question

1．关于x的一元二次方程（m²-4）x²+（2m+3）x+1=0．
①若此方程有解，试求m的取值范围；
②是否存在实数m，使此方程的两根的倒数和为7？若存在，请求出m的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 ①根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m²-4≠0且△=（2m+3）²-4（m²-4）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可；
②设方程的两根为x₁、x₂，根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=-$\frac{2m+3}{{m}^{2}-4}$、x₁•x₂=$\frac{1}{{m}^{2}-4}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$变形为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，代入数据即可得出关于m的分式方程，解方程经检验后即可得出结论．

解答 解：①根据题意得m²-4≠0且△=（2m+3）²-4（m²-4）≥0，
解得m≥-$\frac{25}{12}$且m≠±2；
②设方程的两根为x₁、x₂，
根据根与系数的关系可得出
x₁+x₂=-$\frac{2m+3}{{m}^{2}-4}$、x₁•x₂=$\frac{1}{{m}^{2}-4}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2m-3=7，
∴m=-5．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．