Question

如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且AE=

2

3

AB，EF⊥EC交AD于点F，连结FC．
（1）求证：△AEF∽△BCE；
（2）求cos∠ECF的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质和已知条件可得：∠A=∠B=90°和∠CEB=∠AFE，进而证明：△AEF∽△BCE；
（2）设EF=2k，EC=3k，由勾股定理可得：FC=

13

k，又因为AE=

2

3

AB，根据余弦的定义即可求出cos∠ECF的值．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°．
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
又∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠CEB=∠AFE，
∴△AEF∽△BCE．
（2）∵AE=

2

3

AB，
∴

AE

BC

=

2

3

，
又△AEF∽△BCE，
∴

EF

CE

=

AE

BC

=

2

3

，
设EF=2k，EC=3k，∴FC=

13

k，
∴cos∠ECF=

EC

FC

=

3 13

13

．

点评：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及余弦的定义以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度中等．