Question

【题目】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，。当绕点旋转到时（如图1），易证．（不必证明）

（1）当绕点旋转到时（如图2），线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。

（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。

Answer 1

【答案】（1）BM+DN=MN；（2）BM+DN=MN；（3）DN﹣BM=MN．

【解析】

（1）连接AC，交MN于点G，则可知AC垂直平分MN，结合∠MAN=45°，可证明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出结论；

（2）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，进一步可证明△AEM≌△ANM，可得结论BM+DN=MN；

（3）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，进一步可证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN﹣BM=MN

（1）如图1，连接AC，交MN于点G．

∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴∠MAG=∠NAG．

∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．在△ABM和△AGM中，∵，∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN，∴BM+DN=MN；

（2）猜想：BM+DN=MN．证明如下：

如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE．在△ABE和△ADN中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．

∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．

在△AEM和△ANM中，∵，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；

（3）DN﹣BM=MN．证明如下：

如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF，△ABM和△ADF中，∵，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即MAF=∠BAD=90°．

∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠FAN=45°．

在△MAN和△FAN中，∵，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN．