Question

9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线m（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若直线m分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F．连结AF，若AF=2，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）作线段AB的垂直平分线m即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得出AF=BF，再由∠B=60°得出△ABF为等边三角形，由等边三角形三线合一的性质得出BC的长．再由勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．

解答 解：（1）如图，直线M即为所求；

（2）∵直线DF垂直平分线段AB，
∴AF=BF．
∵AF=2，
∴BF=2．
∵∠B=60°．
∴△ABF为等边三角形，AB=2，
∴由等边三角形三线合一，AC垂直平分线段BF，BC=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$×2=1．
∴Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$．
∴△ABC周长=AB+BC+AC=2+1+$\sqrt{3}$=3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理及等边三角形的性质等知识，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．