Question

如图，∠A=60°，AB=AC=2，⊙O为△ABC的内切圆，则阴影部分的面积为

3

3

-

1

9

π

．

Answer 1

分析：首先利用等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，再求出△ABC的面积，从而求出内切圆的半径，进而可求出圆的面积，图中阴影部分的面积=

1

3

（S_△ABC-S_⊙O）．

解答：解：连接OA，OD（AB上的内切点）．
∵∠A=60°，AB=AC=2，
∴△ABC是等边三角形，
由于等边三角形的内心就是它的外心，
可得AD=

1

2

AB=1，∠OAB=

1

2

∠CAB=30°；
在Rt△OAD中，tan30°=

OD

AD

，即

3

3

=

OD

1

，
得0D=

3

3

．
故图中阴影部分的面积为：

1

3

（S_△ABC-S_⊙O）=

1

3

[（

3

4

×2²-π（

3

3

）²]=

3

3

-

1

9

π．
故答案为：

3

3

-

1

9

π．

点评：本题考查了等边三角形的性质与判定及内切圆的概念和计算，利用等边三角形内外心关系得出

1

3

（S_△ABC-S_⊙O）是解题关键．