Question

如图，∠A=60°，线段BP、BE把∠ABC三等分，线段CP、CE把∠ACB三等分，则∠BPE的大小是

 

度．

Answer 1

分析：由∠A=60°，根据三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，再由线段BP、BE把∠ABC三等分，线段CP、CE把∠ACB三等分，得到∠PBC=

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3

∠ABC，∠PCB=

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∠ACB，且E点为△PBC的内心，即PE平分∠BPC；于是∠PBC+∠PCB=

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3

（∠ABC+∠ACB）=

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×120°=80°，再根据三角形的内角和定理得，∠BPC=180°-80°=100°，即可得到∠BPE的大小．

解答：解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
又∵线段BP、BE把∠ABC三等分，
∴∠PBC=

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∠ABC，并且BE平分∠PBC；
又∵线段CP、CE把∠ACB三等分，
∴∠PCB=

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∠ACB，并且EC平分∠PCB；
∴∠PBC+∠PCB=

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（∠ABC+∠ACB）=

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×120°=80°，并且E点为△PBC的内心，即PE平分∠BPC，
∴∠BPC=180°-80°=100°，
∴∠BPE=50°．
故答案为50．

点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．同时考查了角平分线的性质和三角形的内心性质．