Question

1．在△ABC中，D为AB的中点，∠CDA=45°，E在AC上，连接BE交CD于F，满足EF=EC，△CBF的面积为8，则CF=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延长CD到G，使DG=CD，过B作BH⊥DG于H，根据全等三角形的性质得到∠G=∠ACD，S_△ACD=S_△BDG=S_△CBD，根据等腰三角形的性质得到GH=FH，得到S_△BHG=S_△BFH，设△BDH的面积=x，△BFD的面积=y，
则△BHG的面积=x+y，列方程得到S_△BDH=4，根据等腰直角三角形的性质得到BH=2$\sqrt{2}$，于是得到结论．

解答 解：延长CD到G，使DG=CD，
过B作BH⊥DG于H，
∵D为AB的中点，
∴AD=DB，
在△ACD与△BGD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADC=∠BDG}\\{CD=DG}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BGD，
∴∠G=∠ACD，S_△ACD=S_△BDG=S_△CBD，
∵EF=EC，
∴∠CFE=∠ECF，
∵∠EFB=∠EFC，
∴∠G=∠BFD，
∴BG=BF，
∴GH=FH，
∴S_△BHG=S_△BFH，设△BDH的面积=x，△BFD的面积=y，
则△BHG的面积=x+y，
∴x+x+y=y+8，
∴x=4，
∴S_△BDH=4，
∵∠BDH=∠ADC=45°，
∴BH=DH，
∴BH=2$\sqrt{2}$，
∵△CBF的面积为8，
∴CF=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．