Question

7．如图，C是BE上一点，D是AC的中点，且AB=AC，DE=DB，∠A=60°，△ABC的周长是18cm．求∠E的度数及CE的长度．

Answer 1

分析 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得：△ABC是等边三角形，由此可计算边长为6cm，根据等腰三角形三线合一的性质得中线AD是高线和角平分线，所以可以求得CD的长，由外角定理证明∠CDE=∠E，所以CE=CD=3cm．

解答 解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵△ABC的周长是18cm，
∴AB=AC=BC=$\frac{1}{3}$×18=6cm，
∵D是AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3cm，
∵AB=BC，D是AC的中点，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵BD=DE，
∴∠CBD=∠E=30°，
∵∠ACB是△DCE的一个外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD=3cm．

点评 本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质和判定，是常考题型，难度不大；要熟练掌握等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；熟记由等腰三角形来判定等边三角形常用的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．