如图的平面直角坐标系中.抛物线交x轴于A.B两点.交y轴于点C.以OC.OB为两边作矩形OBDC.CD交抛物线于G．(1)求OC和OB的长,(2)抛物线的对称轴l在边OB上作平行移动.交x轴于点E.交CD于点F.交BC于点M.交抛物线于点P．设OE=m.PM=h.求h与m的函数关系式.并求出PM的最大值,(3)连接PC.则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P.使得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图的平面直角坐标系中，抛物线

交x轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交y轴于点C，以OC、OB为两边作矩形OBDC，CD交抛物线于G．
（1）求OC和OB的长；
（2）抛物线的对称轴l在边OB（不包括O、B两点）上作平行移动，交x轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P．设OE=m，PM=h，求h与m的函数关系式，并求出PM的最大值；
（3）连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△BEM相似？若存在，直接求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）根据抛物线的解析式，易求得B、C的坐标，即可得到OB、OC的长；
（2）若OE=m，即P、M的横坐标为m，可根据B、C的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据抛物线和直线BC的解析式表示出P、M的纵坐标，即可得到PM的长，即h的表达式，由此可求出h、m的函数关系式，根据函数的性质及自变量的取值范围即可求出PM的最大值；
（3）由于∠PFC和∠BEM都是直角，对应相等，若所求的两个三角形相似，存在两种情况：
①△PFC∽△BEM，②△CFP∽△BEM；
可分别用m表示出BE、EM、CF、PF的长，根据上述两类相似三角形所得的不同比例线段即可求出m的值．
解答：解：（1）对于

，
当x=0时，y=4；
当y=0时，

，
解得x₁=-1，x₂=3；（2分）
∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4）；

∴OC=4，OB=3；（3分）

（2）∵抛物线的对称轴l⊥x轴，在边PE∥l，
∴PE⊥x轴；
∵OE=m，
∴点P的横坐标为m；
∵点P在抛物线

上，
∴点P的纵坐标为

；
∴PE=

；（4分）
在Rt△BOC中，tan∠OBC=

；
在Rt△BME中，
ME=BEtan∠OBC=（OB-OE）•tan∠OBC=

（3-m）=4-

m；（5分）
∴PM=PE-ME=

-4+

；
∴h与m的函数关系式为h=

（0＜m＜3）（6分）
又h=

，
∵-

＜0，
∴当m=

时，h有最大值为3，
∴PM的最大值为3；（8分）

（3）①当m=

时，△PFC∽△BEM，此时△PCM为直角三角形（∠PCM为直角）；（10分）
②当m=1时，△CFP∽△BEM，此时△PCM为等腰三角形（PC=CM）．（12分）
点评：此题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法、二次函数的应用以及相似三角形的判定和性质；要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．