Question

将边长为4的正方形在如图的平面直角坐标系中．点P是OA上的一个动点，且从点O向点A运动．连接CP交对角线OB于点D，连接AD．
（1）求证：△OCD≌△OAD；
（2）若△OCD的面积是四边形OABC面积的

1

6

，求P点的坐标；
（3）若点P从点O运动到点A后，再继续从点A运动到点B，在整个运动过程中，当△OCD恰为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质推出OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，根据SAS证明三角形全等即可；
（2）求出△OCD的面积是△COB的面积的

1

3

，求出OD：BD=1：2，根据相似推出OP：CB=1：2，即可求出OP；
（3）分为三种情况：①OC=OD时，②CD=OD时，③OC=CD时，根据等腰三角形性质和相似求出即可．

解答：（1）证明：∵四边形OCBA是正方形，
∴OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，
在△OCD和△OAD中
∵

OC=OA ∠COD=∠AOD OD=OD

，
∴△OCD≌△OAD（SAS）；

（2）解：∵OCD的面积是四边形OABC面积的

1

6

，
∴△OCD的面积是△COB的面积的

1

3

，
∵△ODC的边OD上的高和△COB的边OB上的高相等，
∴

OD

OB

=

1

3

，
∴

OD

BD

=

1

2

，
∵四边形OCBA是正方形，
∴OA∥BC，
∴△OPD∽△BCD，
∴

OP

CB

=

OD

BD

=

1

2

，
∵BC=4，
∴OP=2，
即P的坐标是（2，0）；

（3）解：分为三种情况：①OC=OD时，P点的坐标是（4，8-4

2

）；

②CD=OD时，P点的坐标是（4，0）；

③OC=CD时，P点的坐标是（4，4）．

点评：本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．