Question

13．已知点A（2，-1）和点B（-4，n）在抛物线y=ax²+1（a≠0）上．
（1）求a的值及点B的坐标．
（2）若M为抛物线的顶点，求△AMB的面积．
（3）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点代入解析式可求得a的值，可求得抛物线的解析式，再把B点坐标代入可求得n，可求得B点坐标；
（2）可求得M点坐标，设直线AB解析式为y=kx+b，利用待定系数法可求得直线AB解析式，可求得直线AB与y轴的交点D，可求得MD的长，再由S_△AMB=S_△AMD+S_△BMD可求得△AMB的面积；
（3）可设P点坐标为（0，y），可分别表示出AP和BP，又可求得AB的长，分PA⊥AB和PB⊥AB两种情况分别利用勾股定理可得到关于y的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵点A在抛物线上，
∴-1=4a+1，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+1，
∵点B在抛物线上，
∴n=-$\frac{1}{2}$×（-4）²+1=-7，
∴B点坐标为（-4，-7）；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+1，
∴M坐标为（0，1），
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A、B坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-1}\\{-4k+b=-7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=x-3，
不妨设直线AB交y轴于点D，则D点坐标为（0，-3），
∴MD=1-（-3）=4，
∴S_△AMB=S_△AMD+S_△BMD=$\frac{1}{2}$MD×[2-（-4）]=$\frac{1}{2}$×4×6=12；
（3）设P点坐标为（0，y），且A（2，-1），B（-4，-7），
∴AB=$\sqrt{[（2-（-4）]^{2}+[-1-（-7）]^{2}}$=6$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{{2}^{2}+（y+1）^{2}}$，PB=$\sqrt{{4}^{2}+（y+7）^{2}}$，
∵AB为直角边，
∴有PA⊥AB或PB⊥AB两种情况，
当PA⊥AB时，由勾股定理可知AB²+PA²=PB²，
∴72+4+（y+1）²=16+（y+7）²，解得y=1，此时P点坐标为（0，1）；
当PB⊥AB时，由勾股定理可知AB²+PB²=PA²，
∴72+16+（y+7）²=4+（y+1）²，解得y=-11，此时P点坐标为（0，-11）；
综上可知P点坐标为（0，1）或（0，-11）．

点评 本题主要考查二次函数的性质及其综合应用，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．