Question

6、已知：如图△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE、CD．
（1）求证：△AGE≌DAC；
（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据已知等边三解形的性质可推出△ADG是等边三角形，从而再利用SAS判定△AGE≌△DAC；
（2）连接AF，由已知可得四边形EFCD是平行四边形，从而得到EF=CD，∠DEF=∠DCF，由（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD，∠AED=∠ACD，从而可得到EF=AE，∠AEF=60°，所以△AEF为等边三角形．

解答：证明：（1）连接DF，AF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵EG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°．
∴△ADG是等边三角形．
∴AD=DG=AG．
∵DE=DB，
∴EG=AB．
∴GE=AC．
∵EG=AB=CA，
∴∠AGE=∠DAC=60°，AG=DA，
∴△AGE≌△DAC．

（2）连接AF，△AEF为等边三角形，
∵DG∥BC，EF∥DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴EF=CD，∠DEF=∠DCF，
由（1）知△AGE≌△DAC，
∴AE=CD，∠AED=∠ACD．
∵EF=CD=AE，∠AED+∠DEF=∠ACD+∠DCB=60°，
∴△AEF为等边三角形．

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定的理解及运用．