Question

已知：如图△ABC是边长为4的等边三角形，点P、Q分别从A、C两点同时出发，速度为每秒1个单位长度，B与原点重合，PQ交AC于D．
（1）写出点A的坐标

（2，2

3

）

；
（2）当△DCQ为等腰三角形时，求t的值；
（3）若△PCQ的面积为S，P、Q运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）过点A作AE⊥OC于点E，根据等边三角形的性质，可得出OE、AE的长度，继而得出点A的坐标；
（2）△DCQ为等腰三角形，则可得∠PQO=30°，则△POQ是含30°角的直角三角形，根据OQ=2OP，可得出t的值；
（3）过点P作PF⊥OC于点F，先表示出OP，在Rt△OPF中表示出PF，继而可表示出△PCQ的面积，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）过点A作AE⊥OC于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴OE=

1

2

OA=2，AE=

3

OE=2

3

，
∴点A的坐标为（2，2

3

）；

（2）∵△CDQ为等腰三角形，∠DCQ=120°，
∴∠CDQ=∠CQD=30°，
又∵∠AOC=60°，
∴△OPQ为直角三角形，
∴OQ=2OP，即4+t=2（4-t），
解得：t=

4

3

；

（3）过点P作PF⊥OC于点F，
∵OP=4-t，∠OPE=30°，
∴OF=

4-t

2

，PF=

3

OF=

4 3 - 3 t

2

，
∴S_△PCQ=

1

2

CQ×PF=

1

2

×t×

4 3 - 3 t

2

=-

3

4

t²+

3

t=-

3

4

（t-2）²+

3

，
∴当t=2时，△PCQ的面积最大，S的最大值为

3

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了动点问题、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及配方法求二次函数最值的知识，解答本题关键是基本知识的融会贯通．