Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出△PAC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m．
①请用m的代数式表示MN的长；
②连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据先端垂直平分线的性质，可得对称轴上的点到线段两端点的距离相等，根据两点之间线段最短，可得答案；
（3）①根据平行于y的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；
②根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）将A，B，C的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{15}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
函数的解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；
（2）如图，
由A，B关于x=$\frac{5}{2}$对称，得
PA=PB，
由两点之间选段最短，得
PC+PA=PB．
C_△CPA=PC+PA+AC=CB+CA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$+$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=5+$\sqrt{10}$；
（3）如图2，
①由待定系数法，得
BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，设M点的坐标为（m，-$\frac{3}{4}$m+3），N点的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3）．
由平行于y的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，得
MN=-$\frac{3}{4}$m+3-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3）
=-$\frac{3}{4}$m²+3m；
②由三角形的面积，得
S_△NBC=$\frac{1}{2}$MN（x_B-x_C）
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{4}$m²+3m）×4
=-$\frac{3}{2}$m²+6m
=-$\frac{3}{2}$（m²-4m）
=-$\frac{3}{2}$（m-2）²+6
当m=2时，△BNC的面积最大．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；（2）利用线段的垂直平分线的性质得出P点坐标是解题关键；（3）利用三角形的面积得出二次函数是解题关键．