Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线过A（-1,0）、B（3,0）、C（0，-1)三点.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若该抛物线的顶点为D，求直线AD的解析式；

（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点标.P的坐标.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) x-；（3）P(－4,7)、(4， )、(2,－1).

【解析】试题分析：（1）已知抛物线图象上不同的三点坐标，利用待定系数法能求出抛物线的解析式．

（2）将（1）的抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标，点A的坐标已知，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式．

（3）题目给出的四边形四顶点排序没有明确，因此要分两种情况讨论：

①线段AB为平行四边形的边；那么点Q向左或向右平移AB长个单位就能得到点P的坐标，点Q的横坐标是确定的，那么点P的坐标就能确定出来，而点P恰好在抛物线的图象上，代入抛物线的解析式即可求出点P的坐标；

②线段AB为对角线；那么点Q、P关于AB的中点对称（平行四边形是中心对称图形），思路同①，首先确定点P的横坐标，再代入抛物线的解析式中确定其具体的坐标值．

试题解析：(1)设表达式为y=ax2+bx-1过点（-1,0）与（3,0）

∴

∴

∴所求解析式为：

（2）∵D是的顶点

∴D（1，-）

设AD的解析式为y=kx+b过点A、D,

,

解得

直线AD的解析式为-x-

（3）设点Q的坐标为（0，y），分两种情况讨论：

①线段AB为平行四边形的边，则QP∥x轴，且QP=AB=4，有：

1、将点Q向左平移4个单位，则P1（-4，y），代入抛物线的解析式，得：

y=（-4+1）（-4-3）=7，

即：P1（-4，7）；

2、将点Q向右平移4个单位，则P2（4，y），代入抛物线的解析式，得：

y=（4+1）（4-3）=，

即：P2（4， ）；

②线段AB为平行四边形的对角线，则Q、P关于AB的中点对称，即P3（2，-y），代入抛物线的解析式，得：

-y=（2+1）（2-3）=-1，

即：P3（2，-1）；

综上，满足条件的点P的坐标为（-4，7）、（4， ）、（2，-1）．