题目内容

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
②求从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．
考点：圆的综合题,直角三角形斜边上的中线,三角形中位线定理,矩形的判定与性质,相似三角形的判定与性质
专题：综合题
分析：（1）易证△ABP∽△DPC，运用相似三角形的性质就可求出PC的长．
（2）①过点F作FG⊥AD于点G，如图2．易证△APE∽△GFP，利用相似三角形的性质可以证到∠PEF的正切值是定值，从而得到∠PEF的大小不变；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QP=QB，从而得到点Q在线段PB的垂直平分线上．然后找出点Q的起点和终点，再利用三角形中位线定理就可解决问题．
解答：解：（1）如图1，

在矩形ABCD中，
∵∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=
5
，∠ABP+∠APB=90°．
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
∴∠ABP=∠DPC．
∴△ABP∽△DPC．
∴
AP
CD
=
PB
PC
，即
1
2
=
5
PC
．
∴PC=2
5
．

（2）①∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G，如图2．

∵∠A=∠B=∠AGF=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，四边形ABFG是矩形．
∴GF=AB=2．
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠GPF=∠AEP．
∴△GPF∽△AEP．
∴
PF
PE
=
GF
AP
=
2
1
=2．
在Rt△EPF中，
∵tan∠PEF=
PF
PE
=2，
∴∠PEF的大小不变．
②取EF的中点Q，连接BQ，PQ，PB，如图3．

∵∠EBF=∠EPF=90°，点Q为EF的中点，
∴QP=
1
2
EF=QB，
∴点Q在线段PB的垂直平分线上．
如图4，

当点E在点B处时，点Q在BC中点Q1处；
当点E在点A处时，点Q在PB的中点Q2处．
根据三角形中位线定理得Q1Q2=
1
2
PC=
5
．
所以从开始到停止，线段EF的中点Q所经过的路线长Q1Q2为
5
．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数、到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上、三角形中位线定理、勾股定理等知识，有一定的综合性．求动点的路径长通常需要以下三步：先确定动点的路径是线段还是圆弧，再确定起点和终点，最后计算路径长．
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x-2
x+2
-
x+2
x-2
)•
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1
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