Question

如图所示，在平面直角坐标系中，已知点E和F的坐标分别为E（0，-2）、F（2

3

，0），P在直线EF上，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，使得∠APB=60°，若符合件的点P有且只有一个，则⊙O的半径为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,坐标与图形性质

专题：计算题

分析：作OH⊥EF于P，如图，此时点P是直线EF上到圆心O距离最小的点即点P为满足条件的点，连结OA，先利用勾股定理计算出EF=4，再利用面积法计算出OP=

3

，由于PA、PB为⊙O的切线，根据切线长定理得OP平分∠APB，根据切线的性质得OA⊥PA，则∠APO=

1

2

∠APB=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系在Rt△OPA中可计算出OA．

解答：解：作OH⊥EF于P，如图，此时点P是直线EF上到圆心O距离最小的点，
连接OA，
∵E（0，-2）、F（2

3

，0），
∴OE=2，OF=2

3

，
∴EF=

OE2+OF2

=4，
∵

1

2

OP•EF=

1

2

•OE•OF，
∴OP=

2×2 3

4

=

3

，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴OP平分∠APB，OA⊥PA，
∴∠APO=

1

2

∠APB=

1

2

×60°=30°，
在Rt△OPA中，OA=

1

2

OP=

3

2

，
即此时⊙O的半径为

3

2

．
故答案为

3

2

点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理和坐标与图形性质．