Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AD＝AC，AB＝6，BC＝8．点P以每秒5个单位长度由点A沿线段AC运动；同时，线段EF以相同的速度由CD出发沿DA方向平移，与AC交于点Q，连结PE，PF．当点F与点B重合时，停止所有运动，设P运动时间为t秒．

（1）求证：△APE≌△CFP．

（2）当t＜1时，若△PEF为直角三角形，求t的值．

（3）作△PEF的外接圆⊙O．

①当⊙O只经过线段AC的一个端点时，求t的值．

②作点P关于EF的对称点P′，当P′落在CD上时，请直接写出线段CP′的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）t＝；（3）①t的值为和；②

【解析】

（1）利用勾股定理求出AD=AC=10，根据AD∥BC得到∠EAC＝∠ACF，再根据AE＝CP＝10﹣5t即可证得结论；

（2）过点P作PM⊥AD于点M，延长MP交BC于N，证明四边形ABNM是矩形得到△PNC∽△ABC，求出PM＝MN﹣PN＝3t，NF＝NC﹣FC＝8﹣9t，由△APE≌△CFP得到PE＝PF，由△EPF为直角三角形得到∠MEP＝∠NPF，由此证明△EMP≌△PNF得到PM=NF，建立等式求出t；

（3）①分两种情况：当⊙O过点C时，连接CE，过点E作EM⊥AC于M．根据PE＝PF证得∠PCE＝∠PCF，再求出CE＝AE＝10﹣5t，CM＝AM＝AC＝5，根据cos∠PCE＝cos∠PCF即可求出t；当⊙O过点A时可得AF＝FC＝5t，根据cos∠PCE＝cos∠PCF即可求出t；

②过点C作CH⊥AD于H，连接PP'，交EF于点G，证明△PGQ∽△PP'C求出PQ，根据对顶角的性质及平行线的性质求出CQ＝CF求出t，利用勾股定理求出EF，计算出FG、FQ求出QG即可求出答案.

解：（1）证明：∵AD∥BC，EF∥CD

∴四边形CDEF是平行四边形，∠EAC＝∠ACF

∴ED＝FC＝5t

∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8

∴AD＝AC＝=10

∴AE＝CP＝10﹣5t

在△APE与△CFP中，

∴△APE≌△CFP（SAS）

（2）过点P作PM⊥AD于点M，延长MP交BC于N，

∴∠EMP＝∠PNF＝90°，MN∥AB

∴∠MEP+∠MPE＝90°，四边形ABNM是矩形，△PNC∽△ABC

∴MN＝AB＝6，

∴PN＝6﹣3t，NC＝8﹣4t

∴PM＝MN﹣PN＝3t，NF＝NC﹣FC＝8﹣9t

∵△APE≌△CFP

∴PE＝PF，

∵△EPF为直角三角形

∴∠EPF＝90°

∴∠MPE+∠NPF＝90°

∴∠MEP＝∠NPF

在△EMP与△PNF中，

∴△EMP≌△PNF（AAS）

∴PM＝NF

∴3t＝8﹣9t

解得：t＝

（3）①（ⅰ）当⊙O过点C时（如图2），连接CE，过点E作EM⊥AC于M．

∵PE＝PF，

∴

∴∠PCE＝∠PCF

∵AD∥BC

∴∠PCF＝∠DAC

∴∠PCE＝∠DAC，

∴CE＝AE＝10﹣5t，CM＝AM＝AC＝5

∵cos∠PCE＝cos∠PCF

∴ 即

解得：t＝

（ⅱ）当⊙O过点A时（如图3），可得AF＝FC＝5t

∴cos∠FAP＝cos∠PCF

∴ 即

解得：t＝

综上所述，t的值为和

②过点C作CH⊥AD于H，连接PP'，交EF于点G

∴G为PP'和EF的中点

∵P'在CD上，EF∥CD

∴△PGQ∽△PP'C

∴＝

∴PQ＝CQ＝PC＝

∵AC＝AD

∴∠ACD＝∠D

∴∠AQE＝∠ACD＝∠D＝∠AEQ

∵∠AQE＝∠CQF，∠AEQ＝∠CFQ

∴∠CQF＝∠CFQ

∴CQ＝CF

∴

解得：t＝

∴CF＝，AE＝10﹣＝

∴，即FQ＝EF

∵∠CHD＝90°，CH＝AB＝6，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BC＝2

∴EF＝CD＝

∴FG＝EF＝，FQ＝EF＝

∴GQ＝FG﹣FQ＝

∴CP'＝2GQ＝.