Question

【题目】如图①在中，若点在边上，且则点定义为的边上的“金点”．

已知点是的边上的“金点”:

①若则的长为 _；

②若则的长为 _；

在图①中，若点是的边的中点，试判断点是不是的“金

点”，并说明理由；

如图②，已知点为同一直线上三点，且在所在直线上是否存在一点使点中的某一点是其余三点围成的三角形的“金点”．若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①或； ②；（2）点是的“金点”，理由见解析；（3）存在，满足条件的长为或．

【解析】

（1）①分两种情形，利用相似三角形的性质解决问题即可．②利用相似三角形的性质解决问题即可．

（2）结论：点D是△ABC的“金点”．只要证明△ACD∽△ABC即可解决问题；

（3）如图③中，存在．有三种情形：过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y轴于H．构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；

（1）若如图：

∵

∴．

∴

∴

∴

若如图：

∵

∴

∴

∴

∴

∴；

如图所示：

∵点是的“金点”，

∴或

当时，

∵

∴

∴；

当时，

同理可证．

在中，由勾股定理得，

∵

∴

故答案为：①或； ②；

（2）点是的“金点”，

理由如下:

∵点是的边的中点，

∴

又∵

∴

∴

又

∴

所以点是的“金点”；

故答案为：点是的“金点”，理由见解析．

（3）存在．

有三种情形:

如图所示：过点作交的延长线于点作交的延长线于点．

∵，，

∴

∴

∵，

∴

∴

∴．

设

∵

∴

∵

∵．

∴

∴

解得或(舍去)，

∴

当时，点是的“金点”设

∵，

∴

∴，即．

∴，

解得

∴．

当时，点是的“金点”

易知，

∴．

当时，点是的“金点”

易知，

∴．

综上所述，满足条件的长为或．

故答案为：存在，OD长为42或6