如图.已知:如图.在直角坐标系中.有菱形OABC.A点的坐标为.对角线OB.AC相交于D点.双曲线y=$\frac{k}{x}$经过D点.交BC的延长线于E点.且OB•AC=160.有下列四个结论:①双曲线的解析式为y=$\frac{40}{x}$,②E点的坐标是(5.8),③sin∠COA=$\frac{4}{5}$,④AC+OB=12$\sqrt{5}$．其中正确的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y=$\frac{40}{x}$（x＞0）；
②E点的坐标是（5，8）；
③sin∠COA=$\frac{4}{5}$；
④AC+OB=12$\sqrt{5}$．
其中正确的结论有③④（填上序号）．

分析 ①过点C作CM⊥x轴于点M，根据菱形的性质结合三角形的面积公式可求出线段CM的长度，利用勾股定理可得出线段OM的长度，由此可得出点B的坐标，再由点D为菱形对角线的交点可得出点D的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得知①不成立；②根据双曲线的解析式结合点E的纵坐标即可求出点E的坐标，从而得出②不成立；③由线段CM、OC的长度结合角的正弦的定义即可得出③成立；④在Rt△CMA中，利用勾股定理即可得出线段AC的长度，再由OB•AC=160可得出线段OB的长度，从而得出④成立．综上即可得出结论．

解答解：①过点C作CM⊥x轴于点M，如图1所示．
∵OB•AC=160，四边形OABC为菱形，
∴S_△OCA=$\frac{1}{2}$OA•CM=$\frac{1}{4}$OB•AC=40，
∵A点的坐标为（10，0），
∴CM=8，OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=6，
∴点C（6，8），点B（16，8）．
∵点D为线段OB的中点，
∴点D（8，4），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过D点，
∴k=8×4=32，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{32}{x}$（x＞0），
∴①不正确；
②∵点E在双曲线y=$\frac{32}{x}$（x＞0）的图象上，且E点的纵坐标为8，
∴32÷8=4，
∴点E（4，8），
∴②不正确；
③∵sin∠COA=$\frac{CM}{OC}$=$\frac{4}{5}$，
∴③正确；
④在Rt△CMA中，CM=8，AM=OA-OM=10-6=4，
∴AC=$\sqrt{C{M}^{2}+A{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵OB•AC=160，
∴OB=8$\sqrt{5}$，
∴AC+OB=12$\sqrt{5}$．
∴④成立．
综上可知：③④成立．
故答案为：③④．