题目内容
10．
如图所示，在菱形ABCD中，AB=8cm，∠BAD=120°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是acm和bcm．（1）请问当a和b满足什么关系时，△AEF为等边三角形？并说明理由；
（2）请问在（1）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值；
（3）在（1）的条件下，求出△CEF的面积最大值．
分析 （1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ACF，得到答案；
（2）根据割补法求面积的思想解答；
（3）求出△AEF的最小面积，即可得出△CEF的面积最大值．
解答 解：（1）当a+b=8时，△AEF为等边三角形；理由如下：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=D=8，∠B=∠D=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠BAC=∠1=60°=∠B，AC=AB，
∵a+b=8，即BE+DF=8=BC，
∴BE=CF，
在△ABE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠B=∠1}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，∠2=∠3，
∵∠2+∠4=∠BAC=60°，
∴∠3+∠4=∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
即当a+b=8时，△AEF为等边三角形；
（2）四边形AECF的面积不变，为16$\sqrt{3}$cm2．理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，如图2所示：
则BH=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
S四边形AECF=S△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$×8×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$（cm2）；
（3）由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，
边AE最短=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，正三角形AEF的高为$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=6，
△AEF的面积=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×6=12$\sqrt{3}$cm2，
则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF-S△AEF=16$\sqrt{3}$-12$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$（cm2）．
点评 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、垂线段最短的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
如图，四边形ABCD是正方形，G是BC的延长线上一点，连接AG交CD于点H，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F．
如图，E是?ABCD中AD边上一点，且ED=2AE，BE和AC相交于点F，则AF：FC=1：3．
| A． | 8 | B． | 20 | C． | 36 | D． | 18 |
| A． | y=（x-2）2-3 | B． | y=（x+2）2-3 | C． | y=（x-2）2+3 | D． | y=（x+2）2+3 |
| A． | 在足球赛中，弱队战胜强队 | |
| B． | 任意画一个三角形，其内角和是360° | |
| C． | 抛掷一枚硬币，落地后反面朝上 | |
| D． | 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 |