Question

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF=BO，且AE=6，AD=8．
（1）求BF的长；
（2）求四边形OFCD的面积．

Answer 1

考点：矩形的性质,勾股定理,三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）在Rt△EAD中，利用勾股定理求得DE=10；然后利用?ACDE的对边相等得到：AC=DE=10；最后在Rt△ABC中根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和已知条件来求BF=BO=5；
（2）过点O作OG⊥BC于点G．由图形得到S四边形OFCD=S△BCD-S△BOF=

33

2

．利用三角形中位线定理得到OG是△BCD的中位线．利用（1）中平行四边形ACDE的性质求得相关线段的长度，将其代入进行计算即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAD=180°-∠BAD=90°．
∵在Rt△EAD中，AE=6，AD=8，
∴DE=

AE2+AD2

=10．
∵DE∥AC，AB∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形．
∴AC=DE=10．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵OA=OC，
∴BO=

1

2

AC=5．
∵BF=BO，
∴BF=5．

（2）过点O作OG⊥BC于点G．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴CD⊥BC．
∴OG∥CD．
∵OB=OD，∴BG=CG，
∴OG是△BCD的中位线．
由（1）知，四边形ACDE是平行四边形，AE=6，
∴CD=AE=6．
∴OG=

1

2

CD=3．
∵AD=8，
∴BC=AD=8．
∴S△BCD=

1

2

•BC•CD=24，S△BOF=

1

2

•BF•OG=

15

2

．
∴S四边形OFCD=S△BCD-S△BOF=

33

2

．
其他证法相应给分．

点评：本题综合考查了三角形中位线定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．解题时，要注意数形结合．