Question

1．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为6，则cos∠BOE=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 如图作OM∥BC交AB于M，连接EC，先利用四点共圆证明∠BOE=∠ECB，再根据△AOE面积求出AE，可以证明AE=EC，由cos∠BOE=cos∠ECB=$\frac{BC}{EC}$即可解决问题．

解答 解：如图作OM∥BC交AB于M，连接EC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=OC，
∵EO⊥AC，
∴EA=EC，
∵∠EBC+∠EOC=180°，
∴E、B、C、O四点共圆，
∴∠BOE=∠ECB，
∵OM∥BC，AO=OC，
∴AM=BM．OM=$\frac{1}{2}$BC=2，∠AMO=∠ABC=90°，
∵S_△AOE=6，
∴$\frac{1}{2}$•AE•OM=6，
∴AE=EC=6，
∴cos∠BOE=cos∠ECB=$\frac{BC}{EC}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查矩形的性质、四点共圆的判定和性质、三角形面积公式等知识，解题的关键是利用四点共圆证明∠BOE=∠ECB，学会转化的思想，属于中考常考题型．