Question

1．如图，点B，D分别在x轴的正、负半轴上，OB=OD，以BD为对角线作?ABCD，使点A、C分别落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的第一、三象限的图象上，且S_?ABCD=28．AB、CD分别交反比例图象于点E、F，连结EF．当四边形BEFC是平行四边形时，k的值是$\frac{14}{3}$．

Answer 1

分析 连接OA，如图，利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，再证明△OBE≌△ODF得到BE=DF，接着利用四边形BEFC为平行四边形得到BE=CF，所以AE=BE，设A（t，$\frac{k}{t}$），E点的纵坐标为$\frac{k}{2t}$，则E（2t，$\frac{k}{2t}$），所以B（3t，0），然后利用△OAB的面积为7得到$\frac{1}{2}$•3t•$\frac{k}{t}$=7，从而可得到k的值．

解答 解：连接OA，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
在△OBE和△ODF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBE=∠ODF}\\{OB=OD}\\{∠BOE=∠DOF}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△ODF，
∴BE=DF，
∵四边形BEFC为平行四边形，
∴BE=CF，
∴AE=BE，
即点E为AB的中点，
设A（t，$\frac{k}{t}$），则E（2t，$\frac{k}{2t}$），
∴B（3t，0），
∵S_?ABCD=28．
∴△OAB的面积为7，
∴$\frac{1}{2}$•3t•$\frac{k}{t}$=7，
∴k=$\frac{14}{3}$．
故答案为$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．