Question

11．如图，正方形ABCD的边长为12，点O为对角线AC、BD的交点，点E在CD上，tan∠CBE=$\frac{1}{3}$，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，将△OCF绕着点O逆时针旋转90°得到△ODG，连接FG、FD，则△DFG的面积是$\frac{72}{5}$．

Answer 1

分析 首先在图1中，证明射影定理AC²=AD•AB，在图2中，根据射影定理证明△BOF∽△BED，得$\frac{OF}{DE}$=$\frac{OB}{BE}$，先求出CF，OF，再求出GD，DG即可解决问题．

解答 解：如图1，∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
而∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AD•AB；
如图2中，∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC²=BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC²=BF•BE，
∴BO•BD=BF•BE，
即$\frac{BO}{BE}$=$\frac{BF}{BD}$，
而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED，
∴$\frac{OF}{DE}$=$\frac{OB}{BE}$，
∵tan∠CBE=$\frac{1}{3}$=$\frac{EC}{BC}$，BC=12，
∴EC=4，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+E{C}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，DE=8，
∵$\frac{1}{2}$×BC×CE=$\frac{1}{2}$×BE×CF，
∴CF=$\frac{12×4}{4\sqrt{10}}$=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{OF}{8}$=$\frac{6\sqrt{2}}{4\sqrt{10}}$，
∴OF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
如图3中，∵∠FOC=∠GOD，DG=CF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴∠GOF=∠DOC=90°，
∵OF=OG，
∴∠OFG=∠OGF=45°，
∴FG=$\sqrt{2}$OF=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，∠OFG=∠OGD=135°，
∴∠DGF=∠OGD-∠OGF=90°，
∴S_△DGF=$\frac{1}{2}$×DG×GF=$\frac{1}{2}$×$\frac{6\sqrt{10}}{5}$×$\frac{12\sqrt{10}}{5}$=$\frac{72}{5}$．
故答案为$\frac{72}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、直角三角形的性质、旋转变换、射影定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用射影定理证明两个三角形相似，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．