Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点B₁，B₂，B₃，…是直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上的第一象限内的点；点A₁，A₂，A₃，…，在x轴正半轴上，且△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…均为等边三角形，若A₁的坐标为（1，0），则点么B₅的坐标是（24，8$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 设△B_nA_nA_n+1的边长为a_n，根据直线的解析式能的得出∠A_nOB_n=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OB_nA_n=30°，从而得出A_nB_n=OA_n．列出部分a_n的值，发现规律“a_n+1=2a_n”，依此规律结合等边三角形的性质即可得出结论．

解答 解：设△B_nA_nA_n+1的边长为a_n，
∵点B₁，B₂，B₃，…是直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上的第一象限内的点，
∴∠A_nOB_n=30°，
又∵△B_nA_nA_n+1为等边三角形，
∴∠B_nA_nA_n+1=60°，
∴∠OB_nA_n=30°，
∴A_nB_n=OA_n．
∵点A₁的坐标为（1，0），
∴a₁=1，a₂=1+1=2=2a₁，a₃=1++a₁+a₂=4=2a₂，a₄=1+a₁+a₂+a₃=8=2a₃，…，
∴a_n+1=2a_n．
∴a₅=2a₄=16，a₆=2a₅=32，
∵△A₅B₅A₆为等边三角形，
∴点B₅的坐标为（a₆-$\frac{1}{2}{a}_{5}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a₆-$\frac{1}{2}{a}_{5}$））=（24，8$\sqrt{3}$）．
故答案为：（24，8$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找出规律“a_n+1=2a_n”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．