Question

【题目】如图，在平行四边形中，，以B为顶点，作交延长线于点E.

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，点P从点E出发，沿方向，以每秒1个单位的速度向终点B运动；点Q从点D出发，沿方向，以每秒2个单位的速度向终点A运动，两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动.设运动时间为.

①若是等腰三角形，求t的值；

②若，直接写出t的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①t的值为2或0或；②.

【解析】

（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定；

（2）①分（ⅰ）当，（ⅱ）当，（ⅲ）当三种情况，列出含t的等式，即可求出t的值；

②根据题意判定可得只有点P在上，点Q在上时，，设PQ与BC的交点为N，证明，得出，从而解得t值.

（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∴.

∵，∴.

∴四边形是平行四边形.

∵，

∴四边形是矩形；

（2）解：①∵四边形是平行四边形，

∴，.

∵四边形是矩形，∴.

若是等腰三角形，则有：

（ⅰ）当，此时有，解得；

（ⅱ）当，此时有，解得；

（ⅲ）当时，如解图①，过点P作于点M，则，

∴.

在中，，

∴.

综上，若是等腰三角形，t的值为2或0或；

②.

由题意可知，当时，只有点P在上，点Q在上时符合题意，如解图②所示，设PQ与BC的交点为N，

∵，，，∴.

当时，点Q在上，点P在上，此时，.

∵四边形是矩形，∴.

当时，有，

∴.

∵，

∴.∴.

∴.∴.∴.