Question

【题目】已知，中，，，点为边中点，连接，点为的中点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．

（1）如图1，当时，请直接写出的值；

（2）如图2，当时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

（3）如图3，当时，请直接写出的值(用含的三角函数表示)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不成立，，理由见解析；（3）．

【解析】

（1）如图1（见解析），先根据中位线定理得出，再根据旋转的性质、等边三角形的性质得出，，，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此即可得出答案；

（2）如图2（见解析），先根据中位线定理、等腰三角形的三线合一得出，再根据等腰直角三角形的性质得出，，然后根据相似三角形的判定与性质可得，，从而可得，最后根据相似三角形的判定与性质可得，据此利用正弦三角函数值即可得；

（3）如图3（见解析），参照题（2）的思路，先根据相似三角形的判定与性质得出，再在中，利用正弦三角函数值即可得．

（1）如图1，取AC的中点G，连接EG，则

点为的中点

是的中位线

，即

由旋转的性质可知，，

是等边三角形

，

，

是等边三角形

点为边中点

，

在和中，

；

（2）不成立，，理由如下：

如图2，连接，取的中点，连接

∵是的中点

∴

∴

∵

是等腰三角形

∵是中点,

∴，，

∴

∴

当时，则

和为等腰直角三角形

∴，即

∴，

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

在中，，即

则；

（3），求解过程如下：

如图3，连接，取的中点，连接

参照（2），同理可得：，，

当时，则

，（旋转的性质）

和为等腰三角形

∴

又

∴

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

在中，

即．