Question

7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC相似，那么AP的长等于$\frac{15}{4}$或$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．

解答 解：∵AC=4，BC=3，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
当△APQ∽△ABC时，
$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{AP}{5}$=$\frac{3}{4}$，
解得，AP=$\frac{15}{4}$；
当△APQ∽△ACB时，
$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{QB}$，即$\frac{AP}{4}=\frac{3}{5}$，
解得，AP=$\frac{12}{5}$，
故答案为：$\frac{15}{4}$或$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．