Question

18．如图，在平面直角坐标系中有两点A，B
（1）尺规作图，在x轴上找一点C，使得AC+BC最小：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若A的坐标为（-2，1），B的坐标为（3，5）在x轴上找一点C，使得AC+BC最小，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）先作出点A关于x轴的对称点A′，再连结A′B交x轴于点C即可；
（2）利用关于x轴对称点坐标关系得出A′的坐标，根据待定系数法可求A′B的解析式，再把y=0代入可求点C的坐标即可．

解答 解：（1）如图所示：

（2）点A关于x轴的对称点A′（-2，-1），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-1}\\{3k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{6}{5}}\\{b=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，
则直线A′B的解析式为y=$\frac{6}{5}$x+$\frac{7}{5}$，
当y=0时，$\frac{6}{5}$x+$\frac{7}{5}$=0，解得x=-$\frac{7}{6}$．
故点C的坐标为（-$\frac{7}{6}$，0）．

点评 此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质以及轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出对称点的坐标是解题关键．