Question

如图，正方形ABCD边长为12，点M为AD上一点，E为CD上一点，∠MBE=45°，ME、BC的延长线相交于点F，若ME=10，则S_△MDE与S_△CEF的面积之和为多少？

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：先根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，则可将△BCE逆时针旋转90°得到△BAN，如图，根据旋转的性质得BN=BE，EC=AN，∠NBE=90°，∠BAN=∠BCE=90°，所以点N在DA的延长线上，即有MN=AM+AN，再利用”SAS“证明△BMN≌△BME，得到MN=ME=10，则AM+CE=10，设EC=x，可得到AM=10-x，DM=2+x，DE=12-x，在Rt△MDE中利用勾股定理得（2+x）²+（12-x）²=100，整理得x²-10x+24=0，解得：x₁=4，x₂=6，即当CE=4时，DE=8，DM=6；当CE=6时，DE=6，DM=8，然后证明△MDE∽△FCE，利用相似比可计算出CF=3或CF=8，即当CE=4时，DE=8，DM=6，CF=3，当CE=6时，DE=6，DM=8，CF=8，最后根据三角形面积公式进行计算．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴将△BCE逆时针旋转90°得到△BAN，如图，
∴BN=BE，EC=AN，∠NBE=90°，∠BAN=∠BCE=90°，
∴点N在DA的延长线上，
∴MN=AM+AN，
∵∠MBE=45°，
∴∠NBM=90°-45°=45°，
在△BMN和△BME中，

BM=BM ∠MBN=∠MBE BN=BE

，
∴△BMN≌△BME，
∴MN=ME=10，
而MN=AN+AM=CE+AM，
∴AM+CE=10，
设EC=x，则AM=10-x，DM=AD-AM=12-（10-x）=2+x，DE=CD-EC=12-x，
在Rt△MDE中，∵ME²=DM²+DE²，
∴（2+x）²+（12-x）²=100，
整理得x²-10x+24=0，解得：x₁=4，x₂=6，
当CE=4时，DE=8，DM=6；
当CE=6时，DE=6，DM=8，
∵AD∥BC，
∴△MDE∽△FCE，
∴

MD

CF

=

DE

CE

，即

6

CF

=

8

4

或

8

CF

=

6

6

，
∴CF=3或CF=8，
当CE=4时，DE=8，DM=6，CF=3，此时S_△MDE与S_△CEF的面积之和=

1

2

×8×6+

1

2

×3×4=30；
当CE=6时，DE=6，DM=8，CF=8，此时S_△MDE与S_△CEF的面积之和=

1

2

×6×8+

1

2

×8×6=48，
∴S_△ADE+S_△CEF=30或48．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质、旋转的性质和三角形全等的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行计算．