Question

如图，x轴是西气东输工程天然气的主管道，按规定主管道在我市只允许开一个口，A（2，1），B（10，5）是我市新建的两个天然气站，现在要在x轴上选一个点开口，分别连接到A、B，小明说：“作AB的垂直平分线交x轴于C，就选点C，C点到A、B的距离相等．“小华说：“不行，可以用轴对称知识做出点E，点E到A、B的距离之和最小，这样可以节约原材料，节省费用．“请你求出：
（1）C点的坐标；
（2）AE+BE的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）作BG⊥x轴，设C（x，0），则HC=x-2，GC=10-x，在Rt△AHC和Rt△BGC中，运用勾股定理即可求出x的值．
（2）根据△HEF∽△GEB，再利用勾股定理求出AE和BE的值．

解答：解：（1）如图，作BG⊥x轴，设C（x，0），则HC=x-2，GC=10-x，
∵AC=CB，
∴在Rt△AHC和Rt△BGC中，
1²+（x-2）²=（10-x）²+5²，
即x=7.5，可得C点坐标为（7.5，0）．
（2）∵△HEF∽△GEB，
∴

HE

EG

=

HF

GB

=

1

5

，
又HE+EG=HG=10-2=8，
∴

1

5

EG+EG=8，EG=

20

3

，HE=

4

3

，AE=

12+( 4 3 )2

=

5

3

；BE=

52+( 20 3 )2

=

25

3

，
从而AE+BE=

5

3

+

25

3

=10．

点评：本题考查了相似形，找到相关的三角形，作出恰当的辅助线，灵活运用勾股定理是解题的关键．