Question

3．如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC交于点D，DE⊥AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若sinA=$\frac{1}{3}$，DE=$\sqrt{2}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等腰三角形的性质和平行线的判定定理得到OD∥AB，根据垂直的定义和平行线的性质得到∠DEA=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ODC=∠A，
∴OD∥AB，
∴∠ODE=∠DEA；
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵BC为⊙O的直径，
∴BD⊥AC，又DE⊥AB，
∴AD²=AE•AB，
∵sinA=$\frac{1}{3}$，DE=$\sqrt{2}$，
∴AD=3$\sqrt{2}$，AE=4，
∴（3$\sqrt{2}$）²=4×AB，
解得，AB=$\frac{9}{2}$，
∴BC=$\frac{9}{2}$，
即⊙O的直径为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查的是切线的判定，掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．