已知.如图1.在△ABC中.AC=BC.点D是边AB的中点.E.F分别是AC和BC的中点.分别以CE.CF为一边向上作两个全等的矩形CEGH和矩形CFMN.依次连结DG.DM.GM．(1)求证:△DGM是等腰三角形．(2)如图2.若将上图中的两个全等的矩形改为两个全等的正三角形.其他条件不变．请探究△DGM的形状.并说明理由．(3)若将图中的两个全等的矩形改� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知，如图1，在△ABC中，AC=BC，点D是边AB的中点，E，F分别是AC和BC的中点，分别以CE，CF为一边向上作两个全等的矩形CEGH和矩形CFMN（其中EG=FM），依次连结DG、DM、GM．
（1）求证：△DGM是等腰三角形．
（2）如图2，若将上图中的两个全等的矩形改为两个全等的正三角形（△CEG和△CFM），其他条件不变．
请探究△DGM的形状，并说明理由．
（3）若将图中的两个全等的矩形改为两个正方形，并把△ABC中的边BC缩短到如图3形状，请探究△DGM的形状，并说明理由．

分析（1）如图1，作辅助线，构建三角形全等，先证明四边形DECF是平行四边形，则∠DEC=∠DFC，再证明
△FDM≌△EDG可得结论；
（2）如图2，△DGM是等边三角形；同理证明△DGM是等腰三角形，再证明△GED≌△GCM，则GM=GD，所以△DGM是等边三角形；
（3）连接ED、DF，如图3，易得△GED≌△DFM（SAS），则DG=DM，∠DGE=∠MDF，根据DF∥AC，得∠CED+∠EDF=180°，又由三角形内角和可知：∠GDM=∠GEC=90°，△DGM是等腰直角三角形．

解答（1）证明：∵四边形CEGH和CFMN是全等的矩形，
∴CE=CF，EG=FM，∠GEC=∠MFC=90°，
连接DE、DF，如图1，
∵D、F分别是AB、BC的中，
∴DF∥AC，且DF=$\frac{1}{2}$AC，
同理DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵E是AC的中点，
∴EC=$\frac{1}{2}$AC，
∴EC=DF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴∠DEC=∠DFC，
又∵∠GEC=∠MFC，
∴∠DEG=∠DFM，
∵AC=BC，
∴DE=DF，
∴△FDM≌△EDG（SAS），
∴DG=DM，
∴△DGM是等腰三角形；
（2）△DGM是等边三角形；
证明：∵△CEG和△CFM是全等的等边三角形，
∴CE=EG=CG=CF=FM=CM，∠GEC=∠MFC=60°，
连接DE、DF，如图2，
∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，且DE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
DF∥AC，且DF=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴∠DEC=∠DFC，
又∵∠GEC=∠MFC，
∴∠DEG=∠DFM，
∵AC=BC，
∴DE=DF，
∴△FDM≌△EDG（SAS），
∴DG=DM，
∴△DGM是等腰三角形，
又∵∠GCM+∠ACB=360°-60°-60°=240°，
∠GED+∠ACB=∠GEC+∠CED+∠ACB=60°+180°=240°，
∴∠GCM=∠GED，
又DE=CF=CM，EG=CG，
∴△GED≌△GCM（SAS），
∴GM=GD，
∴△DGM是等边三角形；
（3）解：△DGM是等腰直角三角形；
连接ED、DF，如图3，
显然，由（1）（2）易得△GED≌△DFM（SAS），
∴DG=DM，∠DGE=∠MDF，
∵DF∥AC，
∴∠CED+∠EDF=180°，
即：∠CED+∠EDG+∠GDM+∠MDF=180°，
又由三角形内角和可知∠CED+∠EDG+∠GEC+∠DGE=180°，
∴∠GDM=∠GEC=90°，
∴△DGM是等腰直角三角形．