Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，点P是腰AB上的一个动点．（1）求BC的长；
（2）如图1，如果点M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面积，求出此时PB的长；（3）过点P作直线PM，是否存在PM将梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点A作AE⊥BC，DF⊥BC， ∵∠B=60°，AB=12， ∴sin60°=， ∴AE=6， ∴BE=6，同理可证：FC=6， ∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16；   （2）作△PBM的高PG， ∵等腰梯形ABCD的面积是： （AD+BC）AE=×（4+16）×6=60 ∵PM平分梯形ABCD的面积， ∴S△PBM=30， ∵BM=12， ∴PG=5， ∵∠B=60°， ∴PB=， ∴PB=10；   （3）当M在BC上时，梯形ABCD的周长是4+12+16+12=44， ∵PB=10，BM=12时PB+BM=22（符合题意）， PB=12，BM=10时 PB+BM=22（符合题意）， 当M在DC上时（舍去）， 当M在AD上（舍去）， 则存在符合题意的直线PM．