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精英家教网如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=60°,AC平分∠DAB,E、F分别为对角线AC、DB的中点,且EF=4.求这个梯形的面积.
分析:求出AD=DC=BC,AB=2AD,设CD=a,则AB=2a,连接DE,并延长DE交AB于M,证△DEC≌△MEA,推出DC=AM=a,DE=EM,求出EF=
1
2
BM,即可求出a,过C作CN⊥AB于N,求出CN即可.
解答:解:∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠DAB=∠ABC=60°,DC∥AB,
∴∠DCA=∠CAB,
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB=
1
2
∠DAB=30°,∠DCA=∠DAC,
∴∠ACB=90°,AD=DC=BC,
∴AB=2BC=2CD,
设CD=a,则AB=2a,精英家教网
连接DE,并延长DE交AB于M,
∵在△DEC和△MEA中
∠DCE=∠MAE
CE=AE
∠DEC=∠MEA

∴△DEC≌△MEA(ASA),
∴DC=AM=a,DE=EM,
∵DF=BF,
∴EF=
1
2
BM=
1
2
(AB-AM),
∵EF=4,
∴4=
1
2
(2a-a),
a=8,
即BC=AD=DC=8,AB=16,
过C作CN⊥AB于N,精英家教网
∵BC=8,∠ABC=60°,
∴∠BCN=30°,
∴BN=
1
2
BC=4,由勾股定理得:CN=4
3

∴梯形的面积=
1
2
(DC+AB)×CN=
1
2
×(8+16)×4
3
=48
3
点评:本题需要辅助线的帮助,有一定难度,主要考查的是等腰梯形的性质以及梯形的面积公式.
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