Question

11．如图，点A（a，0），B（0，6）分别在x轴、y轴上，且$\sqrt{\frac{a}{4}}$=$\sqrt{2}$．
（1）求线段AB的长；
（2）若点C在线段AB上，D，E分别在线段OA，OB上，且AD=AC，BE=BC．
①如图1，若C为AB的中点，连接CD，CE，试判断△CDE的形状并说明理由；
②如图2，过点D作DF⊥CD交CE的延长线于点F，若点F（m，-m），请求出此时点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{\frac{a}{4}}$=$\sqrt{2}$．求出a=8，由勾股可求得AB即可解答；
（2）①△CDE为等腰直角三角形；如图1，过点C作CG⊥OA于G，证明△EOD≌△DGC（SAS），得到ED=DC，∠EDO=∠DCG，又∠DCG+∠CDG=90°，∠EDO+∠CDG=90°，所以△CDE为等腰直角三角形；
②首先证明△CDF为等腰直角三角形，过点F作FM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，连接OF，证明△FMD≌△DNC（AAS），得到FM=DN，DM=CN，再证明FM=OM，ON=CN，再根据S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$OA×CN+$\frac{1}{2}$OB×ON=24，解得ON=$\frac{24}{7}$，即可解答．

解答 解：（1）由$\sqrt{\frac{a}{4}}$=$\sqrt{2}$．
∴a=8，
∴点A（8，0），B（0，6）
由勾股可求得AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$；                                  
（2）①如图1，过点C作CG⊥OA于G，

∵C为AB的中点，AD=AC，BE=BC．
∴AD=AC=BE=BC=5，
∴OE=1，CG=3，DG=1，OD=3，
即OE=DG，OD=CG，又∠CGD=∠EOD=90°，
∴△EOD≌△DGC（SAS），
∴ED=DC，∠EDO=∠DCG，
又∠DCG+∠CDG=90°，
∴∠EDO+∠CDG=90°，
∴△CDE为等腰直角三角形；
②∵AD=AC，BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，∠ACD=∠ADC，
又∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠FCD=45°，
又∵DF⊥CD，
∴△CDF为等腰直角三角形，
如图②过点F作FM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，连接OF，OC，

易证△FMD≌△DNC（AAS）                          
∴FM=DN，DM=CN，
∵F（m，-m），
∴FM=OM，
易证ON=CN，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$OA×CN+$\frac{1}{2}$OB×ON=24，
即$\frac{1}{2}$（OA+OB）×ON=24，
解得ON=$\frac{24}{7}$，
∴C（$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．