Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出时，的取值范围；

（3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）或；（3）存在，或或或．

【解析】

（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用图象直接得出结论；
（3）分、、三种情况讨论，即可得出结论．

（1）一次函数与反比例函数，相交于点，，

∴把代入得：，

∴，

∴反比例函数解析式为，

把代入得：，

∴，

∴点C的坐标为，

把，代入得：，

解得：，

∴一次函数解析式为；

（2）根据函数图像可知：

当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，

∴当或时，；

（3）存在或或或时，为等腰三角形，理由如下：

过作轴，交轴于，

∵直线与轴交于点，

∴令得，，

∴点A的坐标为，

∵点B的坐标为，

∴点D的坐标为，

∴，

①当时，则，

，

∴点P的坐标为：、；

②当时，

是等腰三角形，，

平分，

，

∵点D的坐标为，

∴点P的坐标为，即；

③当时，如图：

设，

则，

在中，，，，

由勾股定理得：

，

，

解得：，

，

∴点P的坐标为，即，

综上所述，当或或或时，为等腰三角形．