Question

20．阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{1×（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2-$\sqrt{3}$
请回答下列问题：
（1）认真观察一面的解答过程，直接写出：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．（n为自然数，n≥1）
（2）已知：x=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$，y=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$，求2x²+7xy-2y²．

Answer 1

分析 （1）把$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$分母有理化即可；
（2）先利用分母有理化得到x=3-2$\sqrt{2}$，x=3+2$\sqrt{2}$，则易得x+y=6，x-y=-4$\sqrt{2}$，xy=1，然后把原式变形为2（x+y）（x-y）+7xy，再利用整体代入的方法计算．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{1×（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}）^{2}-（\sqrt{n}）^{2}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案为$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）∵x=（$\sqrt{2}$-1）²=3-2$\sqrt{2}$，x=（$\sqrt{2}$+1）²=3+2$\sqrt{2}$，
∴x+y=6，x-y=-4$\sqrt{2}$，xy=1，
∴原式=2（x+y）（x-y）+7xy
=2×6×（-4$\sqrt{2}$）+7×1
=7-48$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．