Question

已知如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M．
（1）以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？
（2）若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；
（2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，以及当至少有一点在⊙C外时，分别求出即可．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M，
∴AB=

AC2+BC2

=

16+25

=

41

，CM=

1

2

AB=

41

2

，
∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，
∴AC=4，则A在圆上，CM=

41

2

＜4，则M在圆内，BC=5＞4，则B在圆外；

（2）以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，
r＞

41

2

，
当至少有一点在⊙C外时，
r＜5，
故⊙C的半径r的取值范围为：

41

2

＜r＜5．

点评：此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．