Question

9．已知：如图，直线MN经过?ABCD的顶点A，BB′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，B′、C′、D′是垂足．
（1）求证：CC′=BB′+DD′．
（2）现将直线MN向上或向下平移，请分别按下面要求画出示意图，写出这时四条垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间的等量关系式．并简要说明证明思路．
（ⅰ）使点A、B、C、D都在直线MN的同一侧，这时AA′+CC′=BB′+DD′；
（ⅱ）使A点在MN的一侧，点B、C、D在另一侧，这时CC′-AA′=BB′+DD′；
（ⅲ）使点A、B在MN的一侧，点C、D在另一侧，这时CC′+BB′=AA′+DD′．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于O′，利用三角形中位线定理以及梯形中位线定理即可证明．
（2）（ⅰ）如图2中，结论AA′+CC′=BB′+DD，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，利用梯形中位线定理可以证明AA′+CC′=BB′+DD．
（ⅱ）如图3中，结论CC′-AA′=BB′+DD，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，延长A′O交CC′于E，只要证明CC′-AA′=2OO′．BB′+DD′=2OO′即可．
（ⅲ）如图4中，结论CC′-AA′=DD′-BB，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，证明方法类似．

解答 （1）证明：如图1中，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于O′．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=BD，
∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′，
∴B′O′=O′D′，AO′=O′C′，
∴CC′=2OO′，BB′+DD′=2OO′，
∴CC′=BB′+DD′．
（2）（ⅰ）当点A、B、C、D都在直线MN的同一侧，
如图2中，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，
∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，
∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，
∴AA′+CC′=2OO′，BB′+DD′=2OO′，
∴AA′+CC′=BB′+DD′，
故答案为AA′+CC′=BB′+DD′
（ⅱ）当A点在MN的一侧，点B、C、D在另一侧，如图3中，
如图3中，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，延长A′O交CC′于E．
∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，
∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，
∴BB′+DD′=2OO′，
∵AA′∥CE，
∴∠AA′O=∠OEC$\left\{\begin{array}{l}{∠AOA′=∠EOC}\\{∠AA′O=∠OEC}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
在△AA′O和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOA′=∠EOC}\\{∠AA′O=∠OEC}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AA′O≌△CEO，
∴AA′=EC，A′O=OE，
∴EC′=2OO′，即CC′-AA′=2OO′，
∴CC′-AA′=BB′+DD′，
故答案为CC′-AA′=BB′+DD．                     
（ⅲ）当点A、B在MN的一侧，点C、D在另一侧，
如图4中，连接AC、BD交于点O，作OO′⊥MN于OO′，
∵BB′⊥MN．OO′⊥MN，CC′⊥MN，DD′⊥MN，AA′⊥MN，
∴BB′∥OO′∥CC′∥DD′∥AA′，
∴B′O′=O′D′，A′O′=O′C′，
同理可以证明：CC′-AA′=2OO′，DD′-BB′=2OO′，
∴CC′-AA′=DD′-BB′，
故答案为CC′-AA′=DD′-BB′．

点评 本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、梯形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用中位线定理解决问题，题目有点难度，学会转化的思想，把问题转化为三角形中位线、梯形中位线解决．