Question

                                                             

如图，已知抛物线y=﹣x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=﹣x²+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），

∴﹣×（﹣2）²+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，

∴抛物线解析式为 y=﹣x²+x+4，

又∵y=﹣x²+x+4=﹣（x﹣3）²+，

∴对称轴为：直线x=3．

（2）在y=﹣x²+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；                

令y=0，即﹣x²+x+4=0，整理得x²﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，     （第25题答案图）  

∴A（﹣2，0），B（8，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，

解得k=，b=4，

∴直线BC的解析式为：y=x+4．                                                                          （3）∵抛物线的对称轴为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：

AC===，

AQ==，                                          

CQ==．

i）当AQ=CQ时，

有=，解得t=0，∴Q₁（3，0）；

ii）当AC=AQ时，

有=，t²=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；

iii）当AC=CQ时，