Question

△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0º＜α＜60º），将线段BC绕点B逆时针旋转60º得到线段BD．（本题图在答题卷上）

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE＝150º，∠ABE＝60º，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45º，求α的值．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，∠A=α， ∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α，

∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°   即∠ABD=30°-α            ------（2分）

（2）△ABE是等边三角形  

证明：连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，   则BC=BD，∠DBC=60°

∴△BCD为等边三角形，

在△ABD与△ACD中

AB＝AC

AD＝AD

BD＝CD

∴△ABD≌△ACD，  ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α

∵∠BCE=150°   ∴∠BEC=180°-（30°-α）-150°=α=∠BAD

在△ABD和△EBC中

∠BEC＝∠BAD

∠EBC＝∠ABD

BC＝BD

∴△ABD≌△EBC， ∴AB=BE，

∵∠ABE=60°           ∴△ABE是等边三角形        ------（4分）

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°  ∴∠DCE=150°-60°=90°，

∵∠DEC=45°     ∴△DEC为等腰直角三角形    ∴DC=CE=BC，

∵∠BCE=150°  ∴∠EBC=（180°-150°）=15°

∵∠EBC=30°-α=15°        ∴α=30°            ------（4分）